Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a₁=．
（Ⅰ）求证：{}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2，n∈N^*），求证：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）a_n+2S_n•S_n-1=0整理得判断出{}是等差数列．
（Ⅱ）根据等差数列的通项公式求得，则S_n可得．进而根据a_n=S_n-S_n-1求得n≥2时数列的通项公式，进而求得a₁，则数列的通项公式可得．
（Ⅲ）把（Ⅱ）中的a_n代入b_n=2（1-n）a_n中求得，进而利用裂项法求得答案．
解答：解：（Ⅰ）由a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），得S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，
所以，故{}是等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以．
所以
（Ⅲ）
所以
b₂²+b₃²++b_n²．
点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差关系的确定．对于数列求和问题，应注意掌握裂项法、错位相减、叠加法等方法．