Question

已知数列{x_n}，{y_n}满足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

，

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

(n∈N*)；当λ＞1时，证明：

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

＜

λ

λ-1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）根据

x3

x2

=λ

x2

x1

把x₁=x₂=1代入求得x₃，同理可求得x₄=λ³，x₅=λ⁶，进而根据等比中项的性质求得λ．
（2）根据根据不等式性质可知有

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

≥λ 2

yn-1

yn-2

…≥λ n-1

y2

y1

=λ^n-1；

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

₌λ 2

xn-1

xn-2

…λ n-1

x2

x1

=λ^n-1
进而可得出

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

，再看当λ＞1时得出

yn+1-xn+1

xn+1

_≥

yn-xn

xn

，即

yn+1-xn+1

yn-xn

≥

xn+1

xn

，代入

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

，原式得证．

解答：（1）解：由已知x₁=x₂=1，且

x3

x2

=λ

x2

x1

∴x₃=λ，同理可知x₄=λ³，x₅=λ⁶，若x₁、x₃、x₅成等比数列，则x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶．而λ≠0，解得λ=±1．
（2）证明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0，y_n＞0．由不等式的性质，有

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

≥λ 2

yn-1

yn-2

…≥
λ n-1

y2

y1

=λ^n-1；
另一方面，

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

₌λ 2

xn-1

xn-2

…λ n-1

x2

x1

=λ^n-1．
因此，

yn+1

yn

≥λ n-1₌

xn+1

xn

（n∈N^*）．故

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

（n∈N^*）．
（Ⅱ）当λ＞1时，由（Ⅰ）可知，y_n＞x_n≥1（n∈N^*）．
又由（Ⅰ）

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

（n∈N^*），则

yn+1-xn+1

xn+1

_≥

yn-xn

xn

，
从而

yn+1-xn+1

yn-xn

_≥

xn+1

xn

（n∈N^*）．
∴

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

=

1-( 1 λ )2

1- 1 λ

＜

λ

λ-1

(n∈N*)

点评：本题以数列的递推关系为载体，结合等比数列的等比中项及前n项和的公式，运用不等式的性质及证明等基础知识进行运算和推理论证．