Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PA的中点，过C，D，E三点的平面与PB交于点F，且PA=PD=AB=2.

（1）证明：；

（2）若四棱锥的体积为，则在线段上是否存在点G，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，

【解析】

（1）由AB//CD推出CD//平面PAB，利用线面平行的性质可推出CD//EF，又CD⊥AD则；（2）由面面垂直的性质证明PO⊥平面ABCD，即可根据四棱锥的体积及勾股定理求出PO，AD，建立空间直角坐标系，设，由空间向量法利用的余弦值列出方程即可求得.

（1）证明：由题意得，AB//CD，

又AB平面PAB，CD平面PAB，∴CD//平面PAB.

又CD平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF，

∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD.

（2）取AD的中点为O，连接PO，PA=PD，PO⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

∴VP－ABCD=AB·AD·PO=，则AD·PO=4，

又PO2+=4，∴PO=，AD=2.

取BC的中点为H，以OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，B(，2，0)，D(－，0，0)，C(－，2，0)，

∴=(，2，－)， =(0，－2，0).

假设存在点G，设，

∴，则，

∴=((1+λ)，2λ，(1－λ))，

设平面GCD的法向量为，

，可取，

又平面的一个法向量，二面角G－CD－B为锐角，

∴，解得λ=或λ=3（舍）.

存在点G，使得二面角G－CD－B的余弦值为，此时.