Question

（2013•威海二模）已知正数a，b满足等式a+b-2ab+4=0，则a+b的最小值为

4

．

Answer 1

分析：根据题中等式移项得a+b+4=2ab，结合基本不等式ab≤(

a+b

2

)2化简得a+b+4≤

1

2

（a+b）²．令a+b=t，得t+4≤

1

2

t2，解之得t≥4或t≤-2，结合a+b=t＞0得t≥4，所以a+b的最小值为4．

解答：解：∵a+b-2ab+4=0，
∴移项，得a+b+4=2ab
∵a、b是正数，可得ab≤(

a+b

2

)2
∴a+b+4=2ab≤2×(

a+b

2

)2，
得a+b+4≤

1

2

（a+b）²，当且仅当a=b=2时，等号成立
令a+b=t，得t+4≤

1

2

t2，
化简得t²-2t-8≥0，解之得t≥4或t≤-2
∵a+b=t＞0，∴t≥4，得a+b的最小值为4
故答案为：4

点评：本题给出关于正数a、b的等式，求a+b的最小值．着重考查了利用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法等知识，属于中档题．