Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若对于定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域是单调函数，求实数b的取值范围；
（3）求证：

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)．(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）根据题意f（x）≥f（1）成立，得f（x）在定义域上的最小值是f（1），函数在x=1处取得最小值，说明x=1是函数的极小值点，f′（1）=0，解之可得b=-4；
（2）根据题意，f′（x）=2x+

b

x+1

，在（-1，+∞）上的符号只有一种，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，再根据函数f′（x）的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）总有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，解f′（x）≥0恒成立，可得b取值范围是[

1

2

，+∞)；
（3）先构造不等式，进行恰当放缩：

n-1

n3

＜

n-1

n3-1

=

1

n2+n+1

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，(n≥2)，利用这个式子进行累加，得

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜

1

2

，结合n≥2，ln(n+1)≥ln3＞ln

e

=

1

2

可得不等式成立．

解答：解：（1）根据题意f（x）≥f（1）成立，得f（x）在定义域（-1，+∞）上的最小值是f（1），
∴函数在x=1处取得最小值，说明x=1是函数的极小值点，
因为f′（x）=2x+

b

x+1

，所以f′（1）=0，得2+

b

2

=0，可得b=-4
经检验b=-4符合题意；
（2）函数f（x）在定义域是单调函数，说明
f′（x）=2x+

b

x+1

，在（-1，+∞）上的符号只有一种，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，
①根据函数的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）总有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，
②f′（x）≥0恒成立，即

b+2x(x+1)

x+1

≥0，变形为b≥-2x²-2x，
而t(x)=-2x 2-2x在(-1，+∞)上的最大值为t(-

1

2

)=

1

2

故b≥

1

2

综合①②知，实数b取值范围是[

1

2

，+∞)
（2）∵

n-1

n3

＜

n-1

n3-1

=

n-1

(n-1)(n2+n+1)

=

1

n2+n+1

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，(n≥2)
∴

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

-

1

n+1

＜

1

2

．
又∵n≥2，ln(n+1)≥ln3＞ln

e

=

1

2

．故不等式成立．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及函数与数列、不等式相综合的问题，属于难题．利用分类讨论思想和不等式放缩的技巧，是解决本题的关键，也是思考的难点．