Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；
（2）连接A₁D，有，建立等量关系，求出点A₁到平面AED的距离即可．
解答：解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，
即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角．
设F为AB中点，连接EF、FC，
∵D，E分别是CC₁，A₁B的中点，
又DC⊥平面ABCD，
∴CDEF为矩形，连接DE，
G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，
EF²=FG•FD=FD²，
∵EF=1，∴FD=．
于是ED=，EG=
∵FC=，CD=1
∴AB=2，A₁B=2，EB=，
∴A₁B与平面ABD所成的角是arcsin；

（Ⅱ）连接A₁D，有
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A₁AB，设A₁到平面AED的距离为h，
则，
，
．
∴，
即A₁到平面AED的距离为．
点评：本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．