题目内容

若椭圆 $数学公式$ 上的一点P到焦点F₁的距离|PF₁|=8，M是PF₁的中点，O是坐标原点，则|OM|=________．

3
分析：根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PF₂|=2a-|PF₁|=6，在△PF₁F₂中利用中位线定理，即可得到的|OM|值．
解答：∵椭圆 $\text{[math]}$ 中，a=7、b=6

∴|PF₁|+|PF₂|=2a=14
结合|PF₁|=8，得|PF₂|=2a-|PF₁|=14-8=6
∵OM是△PF₁F₂的中位线，
∴|OM|= $\text{[math]}$ |PF₂|= $\text{[math]}$ ×6=3
故答案为：3
点评：本题给出椭圆的焦点三角形的一边长，求另一边中点到原点的距离，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

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=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距为4

，A，B分别是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f(x)=

，求函数f（x）的最大值．

给出4个命题：
（1）设椭圆长轴长度为2a（a＞0），椭圆上的一点P到一个焦点的距离是

a，P到一条准线的距离是

a，则此椭圆的离心率为

．
（2）若椭圆

=1（a≠b，且a，b为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d₁，d₂，则|d₁²-d₂²|为定值．
（3）如果平面内动点M到定直线l的距离与M到定点F的距离之比大于1，那么动点M的轨迹是双曲线．
（4）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A₁、B₁，则FA₁⊥FB₁．
其中正确命题的序号依次是

．（把你认为正确的命题序号都填上）

已知F₁，F₂是椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点，过F₁的直线l交C于A，B两点，且△ABF₂的周长为8，C上的动点到焦点距离的最小值为1，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆C上不与椭圆顶点重合的任意一点，点M是椭圆C上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP，NP分别交x轴于点E（x₁，0），点F（x₂，0），探究x₁•x₂是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，请说明理由．

给出4个命题：
（1）设椭圆长轴长度为2a（a＞0），椭圆上的一点P到一个焦点的距离是 $数学公式$ ，P到一条准线的距离是 $数学公式$ ，则此椭圆的离心率为 $数学公式$ ．
（2）若椭圆 $数学公式$ （a≠b，且a，b为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d₁，d₂，则|d₁²-d₂²|为定值．
（3）如果平面内动点M到定直线l的距离与M到定点F的距离之比大于1，那么动点M的轨迹是双曲线．
（4）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A₁、B₁，则FA₁⊥FB₁．
其中正确命题的序号依次是________．（把你认为正确的命题序号都填上）

给出4个命题：
（1）设椭圆长轴长度为2a（a＞0），椭圆上的一点P到一个焦点的距离是

，P到一条准线的距离是

，则此椭圆的离心率为

．
（2）若椭圆

（a≠b，且a，b为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d₁，d₂，则|d₁²-d₂²|为定值．
（3）如果平面内动点M到定直线l的距离与M到定点F的距离之比大于1，那么动点M的轨迹是双曲线．
（4）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A₁、B₁，则FA₁⊥FB₁．
其中正确命题的序号依次是．（把你认为正确的命题序号都填上）