Question

已知数列{a_n}中，，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…．（1）令b=a_n+1-a_n-1，证明数列{b_n}是等比数列；（2）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，证明数列是等差数列．

Answer 1

解：（1）有已知得：，
∴，
∴=，

∴；
（2）由（1）知，，
∴，
得：


将以上各式相加得：，
∴，
∵+（1+2+…+n）-2n==
，
∴=，

∴，
∴．
分析：（1）由于已知得：，利用递推关系由于b_n=a_n+1-a_n-1，利用等比数列的定义即可；
（2）由（1）知，，而又由于b_n=a_n+1-a_n-1，利用数列的累加法可以得到数列{a_n}的通项公式，有其通项公式特点选择分组求和法代入相应公式即可求得，S_n、T_n，在利用等差数列的定义即可得证．
点评：此题考查了等差数列的定义，通项公式及数列的前n项和公式，累加法求数列的通项的方法，重在考查学生的基本的计算能力．