Question

如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于．
⑴求证：；
⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，，

求证：，，，四点共圆．

Answer 1

⑴连，．由于，，，，共圆，故是等腰梯形．因此，．

连，，则与交于，因为
，
所以．同理
．
于是
，．
故四边形为平行四边形．因此（同底，等高）．
又，，，四点共圆，故，由三角形面积公式



于是．
⑵因为，

所以，同理．由得．
由⑴所证，，故
．
又因
，
有
．
故，从而
．
因此，，，四点共圆．