Question

已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求证：（，）．

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立.
（Ⅲ）（，）.

试题分析：（Ⅰ） ，依题意，得，即，.
2分
∵ ， ∴ .                             3分
（Ⅱ）令，得.                 4分
当时，；
当时，；
当时，.
又，，，.
因此，当时，.              7分
要使得不等式对于恒成立，则.
所以，存在最小的正整数，使得不等式对于
恒成立.                                     9分
（Ⅲ）方法一：



.            11分
又∵ ，∴ ，.
∴
.         13分
综上可得，（，）.                  14分
方法二：由（Ⅱ）知，函数在 [-1，]上是增函数；在[,]上是减函数；在[，1]上是增函数.
又，，，.
所以，当x∈[-1，1]时，，即.
∵ ，∈[-1，1]，∴ ，.
∴ .   11分
又∵，∴ ，且函数在上是增函数.
∴ .            13分
综上可得，（，）.     14分
点评：难题，本题综合性较强，对复杂式子的变形能力要求较高。不等式的证明中，灵活运用不等式的性质是一个关键点。