Question

已知b>-1，c>0，函数f(x)=x+b的图像与函数g(x)=x²+bx+c的图像相切．

（1）求b与c的关系式（用c表示b）；

（2）设函数F(x)=f(x)g(x)在(-¥，+¥)内有极值点，求c的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力 解：（1）依题意，令f(x)=g¢(x)，得2x+b=1，故x= 由于，得(b+1)2=4c． ∵ b>-1，c>0，∴ b=-1+． （2）F(x)=f(x)g(x)=x3+2bx2+(b2+c)x+bc． ∴ F¢(x)=3x2+4bx+b2+c．令F¢(x)=0，即3x2+4bx+b2+c=0． 则D=16b2-12(b2+c)=4(b2-3c) 若D=0，则F¢(x)=0有一个实数根x0，且F¢(x)的变化如下： x (-¥，x0) x0 (x0，+¥) F¢(x) + 0 + 于是x=x0不是函数F(x)的极值点． 若D>0，则F¢(x)=0有两个不相等的实根x1、x2(x1<x2)，且F¢(x)的变化如下： x (-¥，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+¥) F¢(x) + 0 - 0 + 由此x=x1是函数F(x)的极大值点，是x=x2函数F(x)的极小值点． 综上所述，当且仅当D>0时，函数F(x)在(-¥，+¥)上有极值点． 由D=4(b2-3c)>0得b<或b> ∵ b=-1+，∴ -1+<或-1+> 解之得0<c<7-或c>7+． 故所求c的取值范围是(0，7-)∪(7+，+¥)