Question

已知双曲线的两个焦点为，实半轴长与虚半轴长的乘积为．直线过点且与线段的夹角为且，与线段垂直平分线的交点为，线段与双曲线的交点为，且，求双曲线方程．

Answer 1

或

解析:

从双曲线的对称性知，我们可以取以所在直线为轴，过中点且垂直于 的直线为轴建立直角坐标系如图所示，

       设双曲线方程为，用待定系数法求之值，又设，．

       从题设知道直线方程为，

       即，在方程中令，得点坐标．，

       由定比分点坐标公式可得点坐标为．

       点在双曲线上，．       ①

       又，         ②　　　从题设有，    　③

       从式①，②消去，化简整理得．

       解此方程得，或（舍去）．

       ，，．        ④

       由③，④得，．

       故所求双曲线方程为，从对称性知，双曲线也适合．