题目内容

如图，已知圆G：（x-2）²+y²=r²是椭圆 $数学公式$ 的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，
（1）求圆G的半径r；
（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．

解：（1）设B（2+r，y₀），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ （1）
而点B（2+r，y₀）在椭圆上， $\text{[math]}$ （2）
由（1）、（2）式得15r²+8r-12=0，
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （舍去）
（2）设过点M（0，1）与圆 $\text{[math]}$ 相切的直线方程为：y-1=kx（3）
则 $\text{[math]}$ ，即32k²+36k+5=0（4）
解得 $\text{[math]}$
将（3）代入 $\text{[math]}$ 得（16k²+1）x²+32kx=0，
则异于零的解为 $\text{[math]}$
设F（x₁，k₁x₁+1），E（x₂，k₂x₂+1），
则 $\text{[math]}$
则直线FE的斜率为： $\text{[math]}$
于是直线FE的方程为： $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
则圆心（2，0）到直线FE的距离 $\text{[math]}$
故结论成立．
分析：（1）可取BC⊥X轴时来研究，则可设B（2+r，y₀），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H由 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，再由点B（2+r，y₀）在椭圆上，建立关于r的方程求解．
（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx，由圆心到直线的距离等于半径求 $\text{[math]}$ ，与椭圆方程联立，表示出E，F和坐标，从而得到EF所在的直线的方程，再探讨圆心到直线的距离和半径的关系．
点评：本题主要是通过圆和椭圆来考查直线和圆，直线和椭圆的位置关系．