Question

第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m的高度飞行，从空中A处测出前下方海岛两侧海岸P、Q处的俯角分别是45°和30°（如图所示）．
（1）试计算这个海岛的宽度PQ．
（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P、Q处同时测得飞机的仰角为45°和30°，他们估计P、Q两处距离大约为600m，由此试估算出观测者甲（在P处）到飞机的直线距离．

Answer 1

分析：（1）先在Rt△ACP中求出PC，再在Rt△ACQ中求出CQ，即可求出这个海岛的宽度PQ．
（2）先在△APQ中锝，PQ=600，∠AQP=30°，∠PAQ=45°-30°=15°．再利用正弦定理即可求出PA，即为观测者甲（在P处）到飞机的直线距离．

解答：解：（1）在Rt△ACP中，

PC

AC

=tan∠CAP，
则PC=800×tan45°=800．（3分）
在Rt△ACQ中，

QC

AC

=tan∠CAQ，则QC=800×tan60°=800

3

．（5分）
所以，PQ=QC-PC=800

3

-800（m）．（7分）
（2）在△APQ中，PQ=600，∠AQP=30°，∠PAQ=45°-30°=15°．（8分）
根据正弦定理，得

PA

sin30°

=

600

sin15°

，（10分）
则PA=

600•sin30°

sin(45°-30°)

=

600•sin30°

sin45°cos30°-cos45°sin30°

=

300

6 - 2 4

=300(

6

+

2

)．
故观测者甲（在P处）到飞机的直线距离为300（

6

+

2

）．（14分）

点评：本题主要考查解三角形的实际应用．这一类型题目，一般都是借助与正弦定理，余弦定理来求解．