Question

【题目】已知数列，前n项和为，对任意的正整数n，都有恒成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知关于n的不等式…对一切恒成立，求实数a的取值范围；

（3）已知 ，数列的前n项和为，试比较与的大小并证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析．

【解析】

（1）利用数列的递推关系式化简，通过累积法转化求解数列的通项公式．

（2）设，利用后一项与前一项的差的符号，判断数列的单调性即可．

（3）通过放缩法，利用裂项消项法求解数列的和Tn=c1+c2+c3+…+cn然后推出结果．

（1）由题意，因为2Sn=（n+1）an，

当n≥2时，2Sn-1=nan-1，

两式相减2an=（n+1）an-nan-1，可得（n-1）an=nan-1（n≥2），

又a1=1≠0，则an≠0，所以，

可得，

累乘得n≥2时，，

n=1时，a1=1也满足上式，

所以数列的通项公式为an=n．

（2）设，

则

=

=，

所以f（n）在n≥3，n∈N*上单调递减，

所以，即．

（3），

则Tn=c1+c2+c3+…+cn

=

=．

所以．