Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+3．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）证明{a_n+3}是等比数列 
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）分别令n=2，n=3，n=4即可求得；
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+3=2（a_n+3），根据等比数列的定义可作出证明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a_n+3=5•2^n-1，变形可得a_n；
解答：（Ⅰ）解：由a_n+1=2a_n+3得，a₂=2a₁+3=7，a₃=2a₂+3=17，a₄=2a₃+3=37；
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+3=2（a_n+3），
又a₁+3=5，知=2，
所以数列{a_n+3}是以5为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，a_n+3=5•2^n-1，
所以a_n=5•2^n-1-3；
点评：本题考查数列递推式、数列求和、等比数列的定义等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．