Question

如题图已知椭圆C：的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，△FAB是边长为2的等边三角形．
 （I）求椭圆C的方程；   
（II）设过点F的直线l交椭圆C于M、N两点，连接MO（O为坐标原点）并延长交椭圆C于点P，求△PMN的面积S_△PMN的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用已知及椭圆的标准方程及性质即可得出；
（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及三角形的面积公式、基本不等式的性质即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得：b=1，a=2．
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）由椭圆的对称性可知：点M、P关于点O中心对称，∴S_△PMN=2S_△OMN．
由（Ⅰ）可知：=，∴F．
设直线l的方程为：x=my+，联立得，消去x得到，
∴，．
∴|y₁-y₂|==．
∴=．
设，则==1，当且仅当时取等号．
∴S_△PMN≤2，即△PMN的面积的最大值为2．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、三角形的面积公式、基本不等式的性质是解题的关键．