Question

设F₁、F₂分别是椭圆C：=1(m＞0)的左、右焦点．

(1)当P∈C，且=0，|PF₁|·|PF₂|=4时，求椭圆C的左、右焦点F₁、F₂；

(2)F₁、F₂是(1)中的椭圆的左、右焦点，已知⊙F₂的半径是1，过动点Q的作⊙F₂的切线QM，使得|QF₁|=|QM|(M是切点)，如图所示，求动点Q的轨迹方程．

第19题图

Answer 1

答案：(1)∵c²=a²-b²，∴c²=4m2．又∵=0

∴PF₁⊥PF₂，

∴|PF₁|²+|PF₂|²=(2c)²=16m²

由椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a=，

(|PF₁|+|PF₂|)²=16m²+8=24m²

从而得m²=1，c²=4m²=4，c=2．

∴F₁(-2，0)、F₂(2，0)．

(2)∵F₁(-2，0)，F₂(2，0)，

由已知得|QF₁|=|QM|，即|QF₁|²=2|QM|²，所以

有|QF₁|²=2(|QF₂|²-1)，

设Q(x，y)，则(x+2)²+y²=2[(x-2)²+y²-1]

即(x-6)²+y²=32(或x²+y²-12x+4=0)

综上所述，所求轨迹方程为(x-6)²+y²=32．