Question

若关于x的方程log2(ax2-2x+2)=2在区间[

1

2

，2]上有解，则实数a的取值范围为

[

3

2

，12]

．

Answer 1

分析：方程log₂（ax²-2x+2）=2在区间 [

1

2

，2]有解，转化为在 [

1

2

，2]内有值使 a=

2

x2

+

2

x

成立，求出函数的值域即可得到a的范围．

解答：解：方程log₂（ax²-2x+2）=2在 [

1

2

，2]内有解，则ax²-2x-2=0在 [

1

2

，2]内有解，
即在 [

1

2

，2]内有值使 a=

2

x2

+

2

x

成立
设 u=

2

x2

+

2

x

=2(

1

x

+

1

2

)2-

1

2

，
当 x∈[

1

2

，2]时，u∈[

3

2

，12]，
∴a∈[

3

2

，12]，
∴a的取值范围是

3

2

≤a≤12．
故答案为：[

3

2

，12]

点评：考查存在性问题求参数范围，本题是存在性求值域．要注意与恒成立问题的解法的区别，此类题一般构思比较巧妙，要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化．