Question

已知点A（-1，0），B（1，0），直线AM和BM相交于点M，并且它们的斜率乘积为m（m≠0），
（1）求点M轨迹方程
（2）讨论点M轨迹是什么曲线？

Answer 1

分析：（1）设出点M的坐标，由两点式写出直线AM和BM的斜率，由斜率乘积为m整理得到点M轨迹方程；
（2）因为m≠0，分-1＜m＜0，m=-1，m＜-1和m＞0四种情况讨论点M的轨迹情况．

解答：解：（1）设M（x，y），由题设知直线AM与BM的斜率存在且均不为零，
所以kAM•kBM=

y

x+1

•

y

x-1

=m，
整理得x2-

y2

m

=1（x≠±1）；
（2）①当-1＜m＜0时，M轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
②当m=-1时，M轨迹为以原点为圆心，1的半径的圆，除去点（-1，0），（1，0）
③当m＜-1时，M轨迹为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）
④当m＞0时，M轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去双曲线的两个顶点）．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，求轨迹方程问题，虽然省略了证明的步骤，但对一些特殊位置一定要谨慎对待，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．