Question

【题目】(导学号：05856290)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|x－a|＋|x－2a|.

(Ⅰ)对任意x∈R，不等式f(x)>1成立，求实数a的取值范围；

(Ⅱ)当a＝－1时，解不等式f(x)<3.

Answer 1

【答案】(1) a>1或a<－1 (2) (－3,0).

【解析】试题分析：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|+|x﹣2a|≥|（x﹣a）﹣（x﹣2a）|=|a|，且f（x）＞1对任意x∈R成立，可得|a|＞1，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）当a=﹣1时，分类讨论，解不等式f（x）＜3．

试题解析：

(Ⅰ)∵f(x)＝|x－a|＋|x－2a|

≥|(x－a)－(x－2a)|＝|a|，

且f(x)>1对任意x∈R成立，

∴|a|>1，∴a>1或a<－1.

(Ⅱ)a＝－1时，f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＝

∴f(x)<3时，－1≤x<0或－2<x<－1或－3<x≤－2，

∴f(x)<3的解集为(－3,0).