题目内容

设函数=x(x-1)(x-a)(a>1),

       (1)求导数,并证明有两个不同的极值点x1、x2;

       (2)若不等式f(x1)+f(x2)≤0成立，求a的取值范围.

      

解析：(1) =3x2-2(1+a)x+a,?

       令=0得方程3x2-2(1+a)x+a=0.?

       因Δ=4(a2-a+1)≥4a>0,故方程有两个不相等的实根x1、x2.不妨设x1<x2,由=3(x-x1)(x-x2)可判别的符号如下：?

       当x<x1时，>0;?

       当x1<x<x2时，<0;?

       当x>x2时，>0.?

       因此，x1是极大值点，x2是极小值点.?

       (2)因f(x1)+f(x2)≤0,故得不等式x13+x23-(1+a)(x12+x22)+a(x1+x2)≤0,即(x1+x2)［(x1+x2)2-3x1x2］-(1+a)［(x1+x2)2-2x1x2］+a(x1+x2)≤0.?

       又由(1)知代入前面不等式两边除以(1+a)并化简得2a2-5a+2≥0.

       解不等式得a≥2或a≤(舍去).?

       因此当a≥2时不等式f(x1)+f(x2)≤0成立.

练习册系列答案
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设函数f(x)=|1-
1x
|，x＞0，
（1）证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1；
（2）点P （x0，y0） （0＜x0＜1 ）在曲线y=f（x）上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x0表达）．
设函数f（x）=x2-2（-1）klnx（k∈N+）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设函数g(x)=2bx-
1
x2
在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意实数x1，x2当k为偶数时，恒有f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当k是偶数时，函数h(x)=f′(x)-x+
3
x
，求证：[h（x）]n+2≥h（xn）+2n（n∈N+）．
设h(x)=x+
m
x
，x∈[
1
4
，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）（理）写出h（4x）的定义域；
（文）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f2（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f1（x）=cosx，x∈[0，π]，f2（x）=1，x∈[0，π]．
（理）当m=1时，设M(x)=
h(x)+h(4x)
2
+
|h(x)-h(4x)|
2
，不等式t≤M1（x）-M2（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h1（x）-h2（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．
设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0，若函数在x=2处取得极值为-16．
（1）求函数解析式；
（2）确定函数的单调递增区间；
（3）证明：当x∈（-∞，0）时，y＜92.5．
设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数h使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），则称f（x）为M上的“h阶高调函数”．给出如下结论：
①若函数f（x）在R上单调递增，则存在非零实数h使f（x）为R上的“h阶高调函数”；
②若函数f（x）为R上的“h阶高调函数”，则f（x）在R上单调递增；
③若函数f（x）=x2为区间[-1，+∞）上的“h阶高诬蔑财函数”，则h≥2；
④若函数f（x）在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=|x-1|-1，则f（x）只能是R上的“4阶高调函数”．
其中正确结论的序号为（　　）

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