Question

设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N₊）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设函数g(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意实数x₁，x₂当k为偶数时，恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当k是偶数时，函数h(x)=f′(x)-x+

3

x

，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N₊）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，讨论k是奇数还是偶数，然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，即可求出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）欲使函数g(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函数，只需g′(x)=2b+

2

x3

≥0在（0，1]上恒成立，然后利用参数分离法将b分离，求出不等式另一侧的最大值，欲使当k为偶数时，恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，只需f（x₁）_min≥g（x₂）_max即可求出b的范围；
（Ⅲ）先求出函数h（x） 的解析式，要证[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ，即证(x+

1

x

)n+2≥xn+

1

xn

+2n，然后利用二项式定理进行展开，即证C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4++C_n^n-1x^2-n≥2ⁿ-2，设S_n=C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4++C_n^n-1x^2-n，利用倒序相加法即可证得Sn≥2ⁿ-2，所以原不等式得证．

解答：解：由已知，得函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
（Ⅰ）当k为偶数时，f（x）=x²-2lnx，则f′(x)=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

，
又x＞0，f'（x）≥0，即x²-1≥0，得x≥1，
所以此时函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞）．
当k为奇数时，f（x）=x²+2lnx，
则f′(x)=2x+

2

x

=

2(x2+1)

x

≥0在定义域内恒成立，
所以此时函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）．（4分）

（Ⅱ）∵函数g(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函数
∴g′(x)=2b+

2

x3

≥0在（0，1]上恒成立，
即b≥-

1

x3

在（0，1]上恒成立，
即b≥(-

1

x3

)max=-1，
∴b≥-1．①（6分）
由（Ⅰ）可知当k为偶数时，f'（x）≤0得0＜x≤1，即f（x）在（0，1]为减函数，
∴f（x）_min=f（1）=1．
又∵对于（0，1]内的任意实数x₁，x₂，
当k为偶数时，恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，
∴1≥g（x）_max=g（1），即1≥2b-1，所以b≤1，②
由①②得-1≤b≤1．（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，h(x)=x+

1

x

，即证(x+

1

x

)n+2≥xn+

1

xn

+2n，（9分）
由二项式定理(x+

1

x

)n=

C

0 n

xn+

C

1 n

xn-1

1

x

+

C

2 n

xn-2

1

x2

++

C

n-1 n

x

1

xn-1

+

C

n n

1

xn

=

C

0 n

xn+

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4++

C

n-1 n

x2-n+

C

n n

1

xn

．
即证C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4++C_n^n-1x^2-n≥2ⁿ-2．（10分）
设S_n=C_n¹x^n-2+C_n²x^n-4++C_n^n-1x^2-n，
则S_n=C_n¹x^2-n+C_n²x^4-n++C_n^n-1x^n-2．
两式相加得2S_n=

C

1 n

(xn-2+

1

xn-2

)+

C

2 n

(xn-4+

1

xn-4

)++

C

n-1 n

(x2-n+

1

x2-n

)≥2（C_n¹+C_n²++C_n^n-1）=2（2ⁿ-2），
即S_n≥2ⁿ-2，所以原不等式得证（12分）

点评：本题主要考查了二项式定理的应用，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，转化的数学思想，属于中档题．