题目内容
(本小题满分14分)已知圆
：
，点
，
，点
在圆上运动，
的垂直平分线交
于点
.
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程；
(Ⅱ)设
分别是曲线上的两个不同点，且点
在第一象限，点
在第三象限，若
，
为坐标原点，求直线
的斜率
；
(Ⅲ)过点
，
且斜率为的动直线
交曲线于
两点，在
轴上是否存在定点
，使以
为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
（本小题满分14分）
解: (Ⅰ) 因为
的垂直平分线交
于点
. 所以
所以动点的轨迹
是以点
为焦点的椭圆……………2分
设椭圆的标准方程为
则
，
，则椭圆的标准方程为
……4分
(Ⅱ) 设
，则
①
因为
则
②
由①②解得
……………7分
所以直线
的斜率
……………8分
(Ⅲ)直线
方程为
，联立直线和椭圆的方程得:
得
…………9分
由题意知：点
在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点，
设
则
假设在
轴上存在定点
，满足题设，则
因为以
为直径的圆恒过点
,
则
，即:
(*)
因为
则(*)变为
…………11分
由假设得对于任意的
,
恒成立，
即
解得
……13分
因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为
.………………14分
练习册系列答案
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=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）