Question

17．已知ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD=2，M，N分别为AD，BC的中点，MN=$\sqrt{3}$，现以AD为边，作两个正三角形△EAD与△PAD，如图，其中平面EAD与平面ABCD共面，平面PAD⊥平面ABCD，Q为PE
的中点．
（Ⅰ）求证：平面QAD∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：PE⊥平面PBC；
（Ⅲ）求AE与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连接QM，PN，由等腰梯形与等边三角形的性质可得：三点E，M，N共线．进而得出EM=MN，利用三角形中位线定理可得QM∥PN．QM∥平面PBC．同理可得AD∥平面PBC．即可证明平面QAD∥平面PBC．
（2）连接PM，△PAD是边长为2的等边三角形，AM=MD，可得PM=$\sqrt{3}$．可得EM=PM．又EQ=QP，可得PE⊥QM．同理利用等腰三角形的性质可得：EQ⊥AQ．可得PE⊥平面AQD，又平面QAD∥平面PBC，即可证明PE⊥平面PBC．
（3）PM⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，可得PM⊥平面ABCDE．PM⊥MN，AM⊥MN．建立如图所示的空间直角坐标系M-yxz．设平面EDP的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$．设AE与平面PDE所成角为θ，则sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$，即可得出．

解答 （I）证明：连接QM，PN，由等腰梯形与等边三角形的性质可得：三点E，M，N共线．
∵△AED是边长为2的等边三角形，∴EM=$\sqrt{3}$，∴EM=MN．
又EQ=QP，∴QM∥PN．
∵QM?平面PBC，PN?平面PBC，
∴QM∥平面PBC．
由AD∥BC，同理可得AD∥平面PBC．
∵QM∩AD=M，QM，QD?平面QAD，
∴平面QAD∥平面PBC．
（2）证明：连接PM．
∵△PAD是边长为2的等边三角形，AM=MD，
∴PM=$\sqrt{3}$．
又EM=$\sqrt{3}$，∴EM=PM．
又EQ=QP，∴PE⊥QM．
又AP=AE，EQ=QP，∴EQ⊥AQ．
又AQ∩QM=Q，∴PE⊥平面AQD，
又平面QAD∥平面PBC，∴PE⊥平面PBC．
（3）解：∵PM⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCDE．
∴PM⊥MN，又AM⊥MN．
建立如图所示的空间直角坐标系M-yxz．
则M（0，0，0），A（1，0，0），D（-1，0，0），E（0，-$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{EP}$=（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DP}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AE}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0）．
设平面EDP的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-1）．
设AE与平面PDE所成角为θ，则sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴AE与平面PDE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了线面平面平行的判定与性质定理、线面面面垂直的判定与性质定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．