Question

已知椭圆（a＞b＞0）满足，且椭圆C₁过点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆C₁的长轴，动直线l₂垂直于l₁且与l₁交于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设曲线C₂与x轴交于点Q，C₂上有与Q不重合的不同两点R（x₁，y₁）、S（x₂，y₂），且满足，求点S的横坐标x₂的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知，可设，（k＞0），
所以椭圆C₁的方程为，…（2分）
因为椭圆C₁过点，所以有，解得k=1，…（3分）
所以椭圆C₁的方程为．…（4分）
（2）F₁（-1，0），F₂（1，0），所以直线l₁的方程为x=-1，…（5分）
由题意，|MP|=|MF₂|，所以点M的轨迹C₂是以F₂为焦点，直线l₁为准线的抛物线，
所以轨迹C₂的方程是y²=4x． …（10分）
（3）Q（0，0），设，，
所以，，
因为，所以，…（12分）
因为y₁≠y₂，y₁≠0，化简得，…（15分）
所以，当且仅当，y₁=±4时等号成立．…（16分）
所以，点S的横坐标的取值范围是[16，+∞）．…（18分）
分析：（1）设，（k＞0），所以椭圆C₁的方程为，由椭圆C₁过点，解得k=1，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）F₁（-1，0），F₂（1，0），所以直线l₁的方程为x=-1，由|MP|=|MF₂|，知点M的轨迹C₂是以F₂为焦点，直线l₁为准线的抛物线，由此能求出轨迹C₂的方程．
（3）Q（0，0），设，，所以，，因为，所以，化简得，由此能求出点S的横坐标的取值范围是[16，+∞）．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．