Question

已知关于x的方程4x²－2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.

Answer 1

设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=，
∴cosα=sinβ
∵方程4x²－2(m+1)x+m=0中，Δ=4（m+1)²－4·4m=4(m－1)²≥0
∴当m∈R，方程恒有两实根.
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα·cosβ=sinβcosβ=
∴由以上两式及sin²β+cos²β=1，得1+2·=()²
解得m=±
当m=时，cosα+cosβ=＞0，cosα·cosβ=＞0，满足题意，
当m=－时，cosα+cosβ=＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.
综上，m=