题目内容
已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4和直线l：x+2y+2=0，直线m经过圆C外定点A（1，0）．（1）若m与圆C相交于P，Q两点，问：当圆心C到直线m距离取何值时，三角形CPQ的面积取最大值，并写出此时m的直线方程；
（2）若直线m与圆C相交于P，Q两点，与l交于N点，且线段PQ的中点为M，则判断|AM|•|AN|是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由．
【答案】分析：（1）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，设圆心到直线的距离为d，则建立三角形CPQ的面积s关于d的函数关系式，求函数的最值，再利用点到直线的距离公式列方程即可得解
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，把所设直线与直线l方程联立，解得点N的坐标，再将直线与圆的方程联立，利用韦达定理，求出M点的坐标，而A（1，0），利用两点间的距离公式计算并化简得到的|AM|•|AN|的代数式即可得解
解答：解：（1）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，
设圆心到直线的距离为d又∵三角形CPQ面积
∴当d=
时，S取得最大值2∴
∴直线方程为y=x-1，或y=7x-7
（2）解：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，
可设直线方程为kx-y-k=0
由
得
再由
得（1+k2）x2-（2k2+8k+6）x+k2+8k+21=0．
∴
得
∴
=
为定值
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，两点之间的距离公式，重点考查了对利用韦达定理，设而不求的解题方法的掌握，解题时要认真体会，耐心求解
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，把所设直线与直线l方程联立，解得点N的坐标，再将直线与圆的方程联立，利用韦达定理，求出M点的坐标，而A（1，0），利用两点间的距离公式计算并化简得到的|AM|•|AN|的代数式即可得解
解答：解：（1）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，
设圆心到直线的距离为d又∵三角形CPQ面积
∴当d=
时，S取得最大值2∴∴直线方程为y=x-1，或y=7x-7
（2）解：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，
可设直线方程为kx-y-k=0
由
得再由
得（1+k2）x2-（2k2+8k+6）x+k2+8k+21=0．
∴
得∴
=为定值点评：本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，两点之间的距离公式，重点考查了对利用韦达定理，设而不求的解题方法的掌握，解题时要认真体会，耐心求解
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