题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，在数列{b_n}中，b₁=1，它的第n项是数列{a_n}的第b_n-1（n≥2）项．
（I）求数列{a_n}的通项公式．
（II）是否存在常数t使数列{b_n+1}为等比数列？若存在求出t的值，并求出数列{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由；
（III）求证： $数学公式$ ．

（Ⅰ）解：由已知，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
n=1时，a₁=S₁=3，也满足上式
∴a_n=2n+1
（Ⅱ）解：由已知b_n=a_bn-1=2b_n-1+1（n≥2）
∴b_n+1=2（b_n-1+1）
∴{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴存在实数t=1使数列{b_n+1}为等比数列，且b_n+1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1
（III）证明：∵b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹-1-2（2ⁿ-1）=1＞0，∴b_n+1＞2b_n，
∵b_n=2ⁿ-1≥1，∴ $\text{[math]}$
∴T_n= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即T_n＜ $\text{[math]}$
∴T_n＜ $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先确定b_n=a_bn-1=2b_n-1+1（n≥2），从而可得b_n+1=2（b_n-1+1），由此可得结论及数列{b_n}的通项公式；
（III）先证明 $\text{[math]}$ ，再求和，即可证得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，恰当放缩是关键．