Question

18．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}，x≥1}\\{1，x＜1}\end{array}\right.$，则不等式f（6-x²）＞f（x）的解集为（　　）

• A． （-3，1）
• B． （-3，2）
• C． （-2，$\sqrt{5}$）
• D． （-$\sqrt{5}$，2）

Answer 1

分析 利用导数求得函数f（x）在[1，+∞）为增函数，故由不等式可得$\left\{\begin{array}{l}{6{-x}^{2}＞1}\\{x＜1}\end{array}\right.$ ①，或6-x²＞x≥1②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：当x≥1，f（x）=x+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{2}$，f′（x）=1-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$＞0，故函数f（x）为增函数，且f（x）≥f（1）=1．
故由不等式f（6-x²）＞f（x），可得$\left\{\begin{array}{l}{6{-x}^{2}＞1}\\{x＜1}\end{array}\right.$ ①，或6-x²＞x≥1②．
解①求得-$\sqrt{5}$＜x＜1，解②求得 1≤x＜2．
综上可得，不等式的解集为（-$\sqrt{5}$，2），
故选：D．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．