Question

设函数f(x)＝x³＋bx²＋4cx＋d的图象关于原点对称，f(x)的图象在点P(1，m)处的切线的斜率为－6，且当x＝2时，f(x)有极值．

(1)求a、b、c、d的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)若x₁，x₂∈[1，－1]，求证：|f(x₁)－f(x₂)|≤．

Answer 1

答案：
解析：

(1)ax2＋2bx＋4c由条件可得b＝d＝0， 　　∴a＋4c＝－6，4a＋4c＝0　解得a＝2，c＝－2 　　故a＝2，b＝0，c＝－2，d＝0．　　　　　　　　　　　　　4分 　　(2)f(x)＝x3－8x，∴2x2－8＝2(x＋2)(x－2) 　　令＞0得x＜－2或x＞2，令＜0得－2＜x＜2． 　　∴f(x)的单调增区间为(和[2，＋;f(x)的单调减区间为[－2，2]．　　8分 　　(3)证明：由(2)知f(x)在[－1，1]上单调递减 　　∴当x[－1，1]时　f(1)≤f(x)≤f(－1)即≤f(x)≤亦即|f(x)|≤ 　　故当x1，x2时，|f(x1)|≤，|f(x2)|≤． 　　从而|f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|＋|f(x2)|≤＋＝ 　　即|f(x1)－f(x2)|．　　　　　　　　　　　　　　　　　5分