在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位.且以原点O为极点.以x轴正半轴为极轴)中.曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin．(Ⅰ)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l和曲线C相交于A、B两点，求AB的长．

分析（Ⅰ）消去参数t，把直线l的参数方程化为直角坐标方程，
利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求出圆心C到直线l的距离d，利用勾股定理求出直线被圆截得的弦长．

解答解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$，消去参数t，
得直线l的直角坐标方程为：2x-y+1=0；…（2分）
由ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
得ρ=2$\sqrt{2}$（sinθcos$\frac{π}{4}$+cosθsin$\frac{π}{4}$）=2sinθ+2cosθ，
∴ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
化为普通方程得，
曲线C的直角坐标方程为：x²+y²=2y+2x，
即（x-1）²+（y-1）²=2；…（4分）
（Ⅱ）圆心C（1，1）到直线l的距离为
d=$\frac{|2×1-1+1|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
且圆的半径为R=$\sqrt{2}$，
直线被圆C截得的弦长
|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}{-（\frac{2}{\sqrt{5}}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．…（7分）