题目内容
（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意n∈N*，总有Sn=2（an-1）．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成等差数列，当公差d满足3＜d＜4时，求n的值并求这个等差数列所有项的和T；
（3）记an=f（n），如果
（n∈N*），问是否存在正实数m，使得数列{cn}是单调递减数列？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）当n=1时，可求得a1=2，当n≥2时Sn-1=2（an-1-1），与已知关系式相减，可求得an=2an-1，利用等比数列的概念即可求得数列{an}的通项公式；
（2）由题意，an+1=an+（n+1）d，可求得d=
，利用3＜d＜4，可求得d=
，从而可知等差数列首项为16，公差为
，共有6项，利用等差数列的求和公式即可求得所有项的和T；
（3）（1）知f（n）=2n，依题意可求得cn=n•m2n，由cn+1＜cn，可求得m2＜
1-
对任意n∈N*成立，构造函数g（n）=1-
，利用g（n）在n∈N*上单调递增的性质，得m的取值范围是（0，
）时，数列{cn}是单调递减数列．
解答：解：（1）当n=1时，由已知a1=2（a1-1），得a1=2．
当n≥2时，由Sn=2（an-1），Sn-1=2（an-1-1），两式相减得an=2an-2an-1，
即an=2an-1，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，an=2n（n∈N*）．
（2）由题意，an+1=an+（n+1）d，故d=
，即d=
，
因为3＜d＜4，
所以3＜
＜4，即3n+3＜2n＜4n+4，解得n=4，
所以d=
．所以所得等差数列首项为16，公差为
，共有6项．
所以这个等差数列所有项的和T=
=144．
所以，n=4，T=144．
（3）由（1）知f（n）=2n，
所以cn=n•f（n•
）=n•
=n•
=n•
=n•
=n•m2n．
由题意，cn+1＜cn，即（n+1）•m2n+2＜n•m2n对任意n∈N*成立，
所以m2＜
1-
对任意n∈N*成立．
因为g（n）=1-
在n∈N*上是单调递增的，所以g（n）的最小值为g（1）=
．
所以m2＜
．由m＞0得m的取值范围是（0，
）．
所以，当m∈（0，
）时，数列{cn}是单调递减数列．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出等比数列的确定与等差数列的求和，考查构造函数思想与单调性的分析应用，属于难题．
（2）由题意，an+1=an+（n+1）d，可求得d=
，利用3＜d＜4，可求得d=，从而可知等差数列首项为16，公差为，共有6项，利用等差数列的求和公式即可求得所有项的和T；（3）（1）知f（n）=2n，依题意可求得cn=n•m2n，由cn+1＜cn，可求得m2＜
1-对任意n∈N*成立，构造函数g（n）=1-，利用g（n）在n∈N*上单调递增的性质，得m的取值范围是（0，）时，数列{cn}是单调递减数列．解答：解：（1）当n=1时，由已知a1=2（a1-1），得a1=2．
当n≥2时，由Sn=2（an-1），Sn-1=2（an-1-1），两式相减得an=2an-2an-1，
即an=2an-1，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，an=2n（n∈N*）．
（2）由题意，an+1=an+（n+1）d，故d=
，即d=，因为3＜d＜4，
所以3＜
＜4，即3n+3＜2n＜4n+4，解得n=4，所以d=
．所以所得等差数列首项为16，公差为，共有6项．所以这个等差数列所有项的和T=
=144．所以，n=4，T=144．
（3）由（1）知f（n）=2n，
所以cn=n•f（n•
）=n•=n•=n•=n•=n•m2n．由题意，cn+1＜cn，即（n+1）•m2n+2＜n•m2n对任意n∈N*成立，
所以m2＜
1-对任意n∈N*成立．因为g（n）=1-
在n∈N*上是单调递增的，所以g（n）的最小值为g（1）=．所以m2＜
．由m＞0得m的取值范围是（0，）．所以，当m∈（0，
）时，数列{cn}是单调递减数列．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出等比数列的确定与等差数列的求和，考查构造函数思想与单调性的分析应用，属于难题．
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