题目内容
设有一颗彗星,围绕地球沿一抛物线的轨道运行,地球恰好位于这个抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为d(万千米)时,经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°.求这颗彗星与地球的最短距离.
解:设彗星的轨迹方程为y2=2px(p＞0),焦点为F(
,0),彗星位于点P(x0,y0)处,直线PF的方程为y=
(x-
).
联立抛物线方程,解得x0=
.
∴|PF|=x0+
=
+
=(4±2
)p.
则(4±2
)p=d,得p=
d,
∴彗星与地球的最短距离为抛物线的顶点到焦点的距离,为
=
或
d万千米(P在F点的左边或右边时,所求距离取不同的值).
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