Question

设

a

=（cos（2x+

π

4

），sinx），

b

=（

2

2

，2sinx），f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若∠A为锐角△ABC的一个内角，求f（A）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用三角恒等变换化简 f（x）=

a

•

b

=

2

2

cos（2x+

π

4

）+2sin²x 的解析式为1-

2

2

sin（2x+

π

4

），由此可得函数f（x）的最小正周期．
（2）根据0＜∠A＜

π

2

，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）的值域．

解答： 解：（1）由题意可得 f（x）=

a

•

b

=

2

2

cos（2x+

π

4

）+2sin²x 
=

2

2

（cos2x•

2

2

-sin2x•

2

2

）+1-cos2x=1-

1

2

（sin2x+cos2x）
=1-

2

2

sin（2x+

π

4

），
故函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
（2）∵0＜∠A＜

π

2

，
∴

π

4

＜2∠A+

π

4

＜

5π

4

，
∴-

2

2

sin（2A+

π

4

）≤1，
∴1-

2

2

≤f（A）＜1+

1

2

=

3

2

，
即f（A）的值域为[1-

2

2

，

3

2

）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．