Question

已知f（x）满足f（x+4）=f（x）且f（4+x）=f（4-x），若2≤x≤6时，f（x）=|x-b|+c，f（4）=2，则f（lnb）与f（lnc）的大小关系是（　　）

• A、f（lnb）≤f（lnc）
• B、f（lnb）≥f（lnc）
• C、f（lnb）＞f（lnc）
• D、f（lnb）＜f（lnc）

Answer 1

分析：由f（x+4）=f（x）且f（4+x）=f（4-x），得到函数f（x）的最小正周期为4，关于x=4对称，再由2≤x≤6时，f（x）=|x-b|+c，f（4）=2，得到b=4，c=2，再求出-2≤x≤2时，f（x）的表达式，从而运用函数f（x）在（0，2）的单调性判断f（lnb）和f（lnc）的大小．

解答：解：∵对x∈R，f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）是最小正周期为4的函数，
∵对x∈R，f（4+x）=f（4-x），
∴函数的对称轴为x=4，
又f（x）=f（4-x），
则函数的对称轴也为x=2，
∵2≤x≤6时，f（x）=|x-b|+c，f（4）=2，
∴b=4，c=2，
∴2≤x≤6时，f（x）=|x-4|+2，
令-2≤x≤2，则2≤x+4≤6，
f（x+4）=|x+4-4|+2=|x|+2，
又f（x+4）=f（x），
∴-2≤x≤2时，f（x）=|x|+2，
当0≤x≤2时，f（x）=x+2，是增函数，
∵lnb=ln4，lnc=ln2，0＜ln2＜ln4＜2，
∴f（ln2）＜f（ln4）即f（lnc）＜f（lnb）．
故选：C．

点评：本题主要考查函数的性质及应用，考查函数的周期性及运用，函数的对称性和单调性及运用，属于中档题．