Question

若一个正四面体的表面积为S₁，其内切球的表面积为S₂，则=________．

Answer 1

分析：设正四面体ABCD的棱长为a，利用体积分割法计算出内切球半径r=a，从而得到S₂关于a的式子．利用正三角形面积公式，算出正四面体的表面积S₁关于a的式子，由此不难得出S₁与S₂的比值．
解答：设正四面体ABCD的棱长为a，可得
∵等边三角形ABC的高等于a，底面中心将高分为2：1的两段
∴底面中心到顶点的距离为×a=a
可得正四面体ABCD的高为h==a
∴正四面体ABCD的体积V=×S_△ABC×a=a²，
设正四面体ABCD的内切球半径为r，则4××S_△ABC×r=a²，解得r=a
∴内切球表面积S₂=4πr²=
∵正四面体ABCD的表面积为S₁=4×S_△ABC=a²，
∴==
故答案为：
点评：本题给出正四面体，求它的表面积与其内切球表面积的比值，着重考查了正四面体的性质、球的表面积公式和多面体的外接、内切球算法等知识，属于中档题．