Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，，n∈N^*，则
（1）a₃=    ；
（2）S₁+S₂+…+S₁₀₀=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a₃可求；
（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N^*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．
解答：解：由，n∈N^*，
当n=1时，有，得．
当n≥2时，．
即．
若n为偶数，则．
所以（n为正奇数）；
若n为奇数，则=．
所以（n为正偶数）．
所以（1）．
故答案为-；
（2）因为（n为正奇数），所以-，
又（n为正偶数），所以．
则．
，．
则．
…
．
所以，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₉₉+S₁₀₀
=
=
=
=．
故答案为．
点评：本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．