Question

已知f(x)=x⁵+2x⁴+3x³+4x²+5x+6,用秦九韶算法求这个多项式当ｘ=２时的值时,做了几次乘法?几次加法?

Answer 1

探究过程:错解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下的形式:f(x)=((((x+2)x+3)x+4)x+5)x+6.按照从内到外的顺序,依次计算多项式当ｘ=２时的值:

v₁=2+2=4;v₂=2v₁+3=11;v₃=2v₂+4=26;v₄=2v₃+5=57;v₅=2v₄+6=120.

显然在v₁中未作乘法,只做了一次加法,在v₂、v₃、v₄中各做了一次加法、一次乘法.因此,共做了四次乘法、五次加法.

    探究结论:这是人所共知的“事实”,一点都不假;但我们面对的是计算机,它没有我们这么灵活,在v₁中虽然“v₁=2+2=4”,而计算机还是做了一次乘法“v₁=2+2=4”;这是因为用秦九韶算法计算多项式f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀当x=x₀时的值时,首先将多项式改写成f(x)=( …(a_nx+a_n-1)x+…+a_n-(k-1)x+a_n-k(k=1,2,…,n),然后再计算v₁=a_nx+a_n-1,v₂=v₁x+a_n-2,v₃=v₂x+a_n-3,…,v_n=v_n-1x+a₀,无论a_n是不是１,这次乘法都是非算不可的,因此本题的答案为:五次乘法,五次加法.