Question

已知函数，其中a≠0．
（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？
（2）已知a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知得f′（x）=ax²+2bx+1，
令f′（x）=0，得ax²+2bx+1=0，
f（x）要取得极值，方程ax²+2bx+1=0，必须有解，
所以△=4b²-4a＞0，即b²＞a，
此时方程ax²+2bx+1=0的根为
x₁==，x₂==，，
所以f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
当a＞0时，

所以f（x）在x1，x2处分别取得极大值和极小值．
当a＜0时，

所以f（x）在x1，x2处分别取得极大值和极小值．
综上，当a，b满足b²＞a时，f（x）取得极值．
（2）要使f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．
即b≥--，x∈（0，1]恒成立，
所以b≥-
设g（x）=--，g′（x）=-+=，
令g′（x）=0得x=或x=-（舍去），
当a＞1时，0＜＜1，当x∈（0，]时g′（x）＞0，g（x）=--单调增函数；
当x∈（，1]时g′（x）＜0，g（x）=--单调减函数，
所以当x=时，g（x）取得最大，最大值为g（）=-．
所以b≥-
当0＜a≤1时，≥1，
此时g′（x）≥0在区间（0，1]恒成立，
所以g（x）=--在区间（0，1]上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=-，
所以b≥-
综上，当a＞1时，b≥-；
0＜a≤1时，b≥-；
分析：（1）对函数求导，由题意可得f′（x）=0有解，由a≠0，分a＞0，a＜0讨论可求解
（2）f（x）在区间（0，1]上单调递增，可得f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，从而转化为求函数的最值，可求解．
点评：本题考查了函数极值取得的条件，函数的单调区间问题：由f′（x）＞0，解得函数的单调增区间；反之函数在[a，b]上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，进而转化为求函数在区间[a，b]上的最值问题，体现了分类讨论及转化思想在解题中的应用．