Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，，求使恒成立，求实数k范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用已知关系式，求出数列的公比，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）通过b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求出通项公式b_n，然后求出倒数，通过裂项法直接求解，利用恒成立，求出数列的最大项，然后求出k的范围．
解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²所以q²=．
由条件可知q＞0，故q=．                  （3分）
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=．（6分）
故数列{a_n}的通项式为a_n=．                 （7分）
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+3+…+n）
=           （9分）
故==       （10分）
==．（11分）
所以数列的前n项和为．化简得对任意n∈N^*恒成立
设，则=．
当n≥5，C_n+1≤C_n，{C_n}为单调递减数列，
当1≤n＜5，C_n+1＞C_n，{C_n}为单调递增数列
，所以，n=5时，C_n取得最大值，
所以，要使对任意n∈N^*恒成立，…14分
点评：本题考查数列通项公式的求法，裂项法数列求和，恒成立问题的求解，考查数列与不等式的综合问题，考查逻辑推理能力、计算能力．