Question

在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、E、F、N分别是A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中点．

求证：(1)E、F、B、D四点共面；

(2)平面AMN∥平面EFDB．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：如图，(1)连结B1D1． 　　∵E、F是B1C1、C1D1的中点，∴EFB1D1． 　　∵D1DB1B，∴D1B1BD是矩形． 　　∴D1B1∥DB．∴EF∥DB． 　　∴EF与DB确定一个平面． 　　故E、F、B、D四点共面． 　　(2)∵M、N是A1B1、A1D1的中点， 　　∴MN∥D1B1∥EF． 　　∴MN∥平面EFDB． 　　连结NE，则NEA1B1AB， 　　∴NEBA是平行四边形． 　　∴AN∥BE．∴AN∥平面BEDF． 　　∵AN、MN都在平面AMN内，且AN∩MN＝N， 　　∴平面AMN∥平面EFBD． 　　方法归纳：证“面面平行”，要先证“线线平行”，进而要证“线面平行”，最后证得面面平行，这就是立体几何中最常用的化归思想(线线、线面及面面关系的相互转化)．

提示：

要证四点共面，可考虑确定平面的方法，而证明面面平行当然首先考虑判定定理．