Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，M是PD的中点．

(1)求证：MC∥平面PAB；

(2)在棱PD上求一点Q，使二面角Q－AC－D的正切值为．

Answer 1

答案：
解析：

(1)过M作MN∥PA交AD于N，连接CN， 　　∵PA⊥平面ABCD且MP＝MD，∴MN⊥平面ABCD且NA＝ND， 　　∴AB＝BC＝AN＝CN＝1， 　　又∠NAB＝90°，DA∥BC，∴四边形ABCN为正方形， 　　∴AB∥NC，∴平面PAB∥平面MNC． 　　∴MC∥平面PAB． 　　(2)在(1)中连接NB交AC于O，则NO⊥AC，连接MO，∵MN∥平面ABCD， 　　MO⊥AC，∴∠MON就是二面角M－AC－D的平面角，∵tan∠MON＝， 　　∴点M就是所求的Q点．