Question

数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1，n≥2，a₃=27．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在实数t使b_n=

1

2n

（a_n+t）（n∈N^*）为等差数列，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由；
（3）设数列{a_n}的前n项的和为S_n，求式不等式S_n＜2012成立的n的最大值．

Answer 1

分析：（1）在a_n=2a_n-1+2^n₊₁，n≥2，a₃=27．中令n=3，求出a₂，再令n=2，求出a₁．
（2）若t使得b_n+1-b_n是一个与n无关的常数，则数列{b_n}为等差数列．由此可以计算得出b_n+1-b_n=

an+1+t

2n+1

-

an+t

2n

=

an+1+t-2(an+t)

2n+1

=

2an+2n+1+1+t-2(an+t)

2n+1

=1+

1-t

2n+1

，当且仅当t=1时符合要求．
（3）由（2）求得a_n=2ⁿ（n+

1

2

）-1，先分组，再利用错位相消法求出S_n，再解S_n＜2012．

解答：解：（1）∵a₃=27，∴27=2a₂+2³+1，得a₂=9，又a₂=2a₁+2²+1，得a₁=2．
（2）b_n+1-b_n=

an+1+t

2n+1

-

an+t

2n

=

an+1+t-2(an+t)

2n+1

=

2an+2n+1+1+t-2(an+t)

2n+1

=1+

1-t

2n+1

当且仅当t=1时，b_n+1-b_n=1是一个与n无关的常数，数列{b_n}为等差数列．
（3）由（2）数列{b_n}的通项公式b_n=b₁+（n-1），而b₁=

1

2

（a₁+1）=

3

2

，∴b_n=n+

1

2

，
即

1

2n

（a_n+1）=n+

1

2

，∴a_n=2ⁿ（n+

1

2

）-1，
S_n=

3

2

•2+

5

2

•22+…+2ⁿ（n+

1

2

）-n，
记S_n′=

3

2

•2+

5

2

•22+…+2ⁿ（n+

1

2

）
则2S_n′=

3

2

•22+

5

2

•23+…+2ⁿ⁺¹（n+

1

2

）
-S_n′=3+2²+2³+…+2ⁿ-2ⁿ⁺¹（n+

1

2

）
=-1+（1-2n）2ⁿ，
∴S_n=1+（2n-1）2ⁿ-n
由S_n＜2012，得 n≤7．n的最大值为7．

点评：本题考查上课递推公式和通项公式，错位相消法求和，考查变形构造，运算求解能力．