Question

（19）在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点.

（I）求证：；

（II）求与平面所成的角.

Answer 1

本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

方法一：

（I）证明：因为，是的中点，

所以.

又平面，

所以.

（II）解：过点作平面，垂足是，连结并延长交于点，连结，.

是直线CM和平面所成的角.

因为平面，

所以，

又因为平面，

所以，

则平面，因此.

设，，

在直角梯形中，

，是的中点，

所以，，，

得是直角三角形，其中，

所以

在中，，

所以，

故与平面所成的角是.

方法二：

如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，.，.

（I）证明：因为，，

所以，

故.

（II）解：设向量与平面垂直，则，，

即

因为，，

所以，z₀= -2，

即，

直线与平面所成的角是与夹角的余角，

所以，

因此直线与平面所成的角是.