Question

过椭圆的左焦点F作斜率为的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线上。

       （1）求k的值；

       （2）设C（-2，0），求

Answer 1

解：

（Ⅰ）由椭圆方程，a＝，b＝1，c＝1，则点F为(－1，0)．

直线AB方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程，得

(2k²＋1)x²＋4k²x＋2k²－2＝0．                                                                      ①

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，则

x₀＝＝－，y₀＝k(x₀＋1)＝，

由点M在直线x＋2y＝0上，知－2k²＋2k＝0，

∵k≠0，∴k＝1．                                                                                  …6分

（Ⅱ）将k＝1代入①式，得3x²＋4x＝0，

不妨设x₁＞x₂，则x₁＝0，x₂＝－，                                                      …8分

记α＝∠ACF，β＝∠BCF，则

tanα＝＝＝，tanβ＝－＝－＝，

∴α＝β，

∴tan∠ACB＝tan2α＝＝．                                                      …12分