题目内容

函数f （x）是定义在[0，1]上的函数，满足f （x）=2f （ $数学公式$ ），且f （1）=1，在每一个区间（ $数学公式$ ， $数学公式$ ]（k=1，2，3，…）上，y=f （x）的图象都是斜率为同一常数m的直线的一部分，记直线x= $数学公式$ ，x= $数学公式$ ，x轴及函数y=f （x）的图象围成的梯形面积为a_n（n=1，2，3，…），则数列{a_n}的通项公式为________．（用最简形式表示）

$\text{[math]}$
分析：先根据f（0）=2f（0），求出f（0）及f（1）的值，归纳总结得f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，然后当 $\text{[math]}$ ＜x≤ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
，利用体形的面积公式可得 $\text{[math]}$ m（ $\text{[math]}$ ）]× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可求
解答：由f（0）=2f（0），得f（0）=0
由 f（1）=2f（ $\text{[math]}$ ）及f（1）=1，得 f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（1）= $\text{[math]}$
同理，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
归纳得 f $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，1 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ m（ $\text{[math]}$ ）]× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于综合性试题，有一定的难度．