题目内容

设过点P(-2,4),倾斜角为π的直线l与抛物线C相交于A、B两点，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，若|PA|、|AB|、|PB|成等比数列，求抛物线C的方程.

思路解析：关键是|PA|、|AB|、|PB|成等比数列条件的运用，因为P、A、B都在直线l上，所以可转化为它们对应纵坐标之间的关系，找到关于系数的方程，求得系数即可.

解：由题意，直线l的方程为y=-x+2，设C的方程为y2=2ax（a≠0），由消去x，得y2+2ay-4a=0，设A、B纵坐标分别为y1、y2，则y1+y2=-2a，y1·y2=-4a，∵P、A、B共线且|PA|、|AB|、|PB|成等比数列，则|y1-4|、|y1-y2|、|y2-4|也成等比数列，∴|y1-4|·|y2-4|=|y1-y2|2≠0.

∴|y1y2-4(y1+y2)+16|=(y1+y2)2-4y1y2，且y1≠y2.

∴|a+4|=a2+4a，且Δ=4a2+16a＞0,

解得a=1，即C的方程为y2=2x.

练习册系列答案
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设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点M(
2
，1)，离心率为
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足
|
AP
|
|
PB
|
=
|
AQ
|
|
QB
|
=λ，证明：点Q的轨迹与λ无关．
已知点P（2，0），及⊙C：x2+y2-6x+4y+4=0．
（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线与⊙C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．
已知点P（2，0）及圆C：x2+y2-6x+4y+4=0．
（1）若圆C与圆x2+y2+2x-2y+m=0外切，求m的值；
（2）设过点P的直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程．
已知点P（2，0）及圆C：x2+y2-6x+4y+4=0．
（1）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4
2
，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线l1与圆C交于M、N两点，当P恰为MN的中点时，求以线段MN为直径的圆Q的方程．

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