Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点M(

2

，1)，离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

=λ，证明：点Q的轨迹与λ无关．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据离心率求得c，a的关系，则根据a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得；
（Ⅱ）先设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设

| PA |

| AQ |

=

| PB |

| QB |

=λ．又P，A，Q，B四点共线，可得

PA

=-λ

AQ

，

PB

=λ

BQ

(λ≠0，±1)结合A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆C上，得到2x+y-2=0最后根据点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．即点Q的轨迹与λ无关．

解答：解（Ⅰ）由题意解得a²=4，b²=2，所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设

| PA |

| AQ |

=

| PB |

| QB |

=λ．
又P，A，Q，B四点共线，可得

PA

=-λ

AQ

，

PB

=λ

BQ

(λ≠0，±1)，
于是x1=

4-λx

1-λ

，y1=

1-λy

1-λ

（1）x2=

4+λx

1+λ

，y2=

1+λy

1+λ

（2）
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程x²+2y²=4，
整理得（x²+2y²-4）λ²-4（2x+y-2）λ+14=0（3）（x²+2y²-4）λ²+4（2x+y-2）λ+14=0（4）
（4）-（3）得8（2x+y-2）λ=0，∵λ≠0，∴2x+y-2=0，（
点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．即点Q的轨迹与λ无关．

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．