题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，四边形
是长方形，
，
，
，
，连接EF．
证明：平面
平面
；
若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）先证明
平面
，从而证得
平面，从而可得
是平面
与平面
所成二面角的平面角．再利用平行四边形
为菱形即可证得平面与平面所成二面角的平面角为直角，问题得证。
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量坐标，利用向量夹角坐标公式即可求得其余弦值，问题得解。
证明：在三棱柱
中，
，
，
又
在长方形
中，
，
，
平面
B.
四边形与四边形
均是平行四边形，
且
，
，连接EF，
．
又，
，
又平面，
平面B.
又
，
均在平面内，
，
B.
又平面
平面
，
平面，
平面．
由二面角的平面角的定义知，是平面与平面所成二面角的平面角．
又在平行四边形中，
，平行四边形为菱形，
由菱形的性质可得，
，
，
平面
平面；
解：由及题设可知，四边形是菱形，
，
，
在
中，由余弦定理可得
．
又由知，EB，EA，EF两两互相垂直，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
0，
，
0，，
，
，
0，．
，
，
，
．
设平面
的法向量为
，平面
的一个法向量为
．
由
，取
，得
；
由
，取
，得
．
．
设二面角
的大小为
，
则
．
二面角的正弦值为．
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